随便想的

总是有一些想法浮现脑前
数学的思想，是想把一些具体的东西，做抽象，然后去解决一类问题。也受过了这些年的高等数学的思想的熏陶了，多少有些感悟：
在分析方面，从数学分析的具体的欧氏空间中研究，研究集合论，研究连续函数的性质，这时候，点集是实实在在的，有普通距离的定义，有普通内积的定义。到了实变函数里，扩展了集合论，扩展了积分，研究范围更加抽象，更大。到了泛函分析中，干脆就不要普通距离了，扩展距离的定义，任何一个满足三条性质的二元运算都可以叫做距离，接着有了范数的定义，研究的对象成了赋范线性空间。而研究的对象成了函数集合，研究函数的函数。到了拓扑里，距离也不要了，只剩下开集的定义，研究对象进一步扩大为拓扑空间。说白了，有一个可以称为开集的集合。
给我影响最大的，也是我首先接触到的，觉得特别抽象的东西是抽象代数，它把代数做了很高度的抽象，当时我对它的奠基人崇拜得无体投地，年仅18岁的Galois竟然有如此天才的思维，英年早逝的他（21岁）留下给世人的不仅仅是一门学科，而更是影响数学发展的思想。在抽象代数里面，凡是任何符合三条性质的集合都可以称之为群，以及之后的关系、商群、环、域、理想、扩张等等，都做出高度的抽象，只要三条性质，加上一些基本的逻辑推理，就可以推出一大堆的定理，并可以解决一类问题，这就是数学的魅力所在！而它的出发点，竟然是为了解决一个实际问题：困扰大家几百年的，五次及五次以上方程没有一般解的问题。我曾经为从中学到很多的思想而感到欣喜若狂：现实生活中朋友可以看做是一个等价关系：1.A和A自己是朋友（自反性） 2.A和B是朋友 ，那么 B和A 是朋友（对称性） 3. A和B,是朋友，B和C是朋友，那么A和C是朋友（传递性） 那么由朋友关系就可以得到等价类，所有是朋友的人组人的集合就是一个等价类集合
数学不仅仅去解决算法问题，如果它能将现在软件开发中的问题都得以抽象，是多么美好的一件事情。

评论

1 楼 a4441456 2012-06-11  

你说的等价关系第三条传递性，我觉得实际上是行不通的。